MATEMÁTICAS JARDINERAS: CÁLCULO DE SUPERFICIES Y VOLÚMENES

Las matemáticas están presentes en todos los aspectos de la vida y por lo tanto, también en la profesión de jardinero. Es fundamental para ser un buen jardinero y paisajista conocer los siguientes aspectos matemáticos:
 

-Cálculo de superficies y volúmenes en figuras geométricas básicas: cuadrado, rectángulo, triángulo, círculo y elipse. Los usos prácticos son por ejemplo: Cálculo de relleno de jardineras, cubicaje de depósitos de agua, etc.

Algunos ejemplos:

Para realizar 2 parterres con forma de elipse tengo que pedir a mi proveedor sustrato y abono granulado. El relleno de sustrato tendrá un espesor de 45 cm y la dosis de abonado será de 0,5 kg por cada 10 metros cuadrados. Calcular los metros cúbicos totales de relleno de sustrato, así como la cantidad de kilogramos de abono que debo pedir a mi proveedor. Los radios del primer parterre tienen una longitud de 9 y 4 m. Los radios del segundo parterre tienen una longitud de 11 y 7 m.

Cálculo de superficies (fórmula de la superficie de la elipse= PI x Rad1 x Rad2):

S(Parterre1)= PI x 9 x 4= 113,10 m2 Superficie total= 113,10+241,90= 355 m2

S(Parterre2)= PI x 11 x7=241,90 m2

Cálculo del volumen de relleno= 355 x 0,45= 159,75 m3

Cálculo del abonado (regla de tres):

0,5 kg de abono------------------- 10 m2 de superficie de terreno.
X kg de abono----------------------355 m2 de superficie de terreno.X= (0,5 x 355)/10
X=17,75 kg de abono

Tengo un depósito de agua en forma de prisma rectangular con las siguientes medidas: 1,00 m de ancho, 1,20 m de alto y 2,00 de largo. Quiero saber cuántos litros caben en el depósito.

Para realizar el cubicaje de este depósito uso la fórmula para sacar el volúmen de un prisma rectangular. Así multiplicamos las tres dimensiones:

1,00 x 1,20 x 2,00= 2,40 metros cúbicos.

En un metro cúbico caben 1000 litros de agua, así que en este depósito cabrán  2.400 litros de agua.

Particularidades:

 

Lo más fácil a la hora de realizar diseños en los jardines y prever los materiales necesarios es diseñar figuras que aunque no sean estrictamente geométricas, sí que sean un compendio de ellas. Ejemplos:

En el siguiente enlace tenéis las fórmulas matemáticas más usadas para el cálculo de superficies y volumenes: http://math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm

MATEMÁTICAS JARDINERAS: PROBLEMAS DE DOSIFICACIÓN

A continuación os muestro una serie de problemas de dosificación de plaguicidas. Son de temática agraria, pero perfectamente se pueden extrapolar a la jardinería. Como podéis observar se solucionan con la Regla de Tres.

1) Preparar 480 litros de caldo con un producto que se emplea a 150 cc/hl.

100 litros---------150 cc

480 litros--------- X                             X= (480x150)/100 =720 cc

2) Ese mismo producto para una mochila de 15 litros.

100 litros---------150 cc

15 litros ---------- X                            X= (15x150)/100= 22,50 cc

3) Hay que hacer un tratamiento herbicida en una parcela de 2,5 ha en el que se recomienda que se aplique una dosis de 3 kg de materia activa por hectárea y disponemos de un producto comercial cuya riqueza en materia activa del 40 %. ¿Cuánto producto comercial gastaremos en toda la parcela?.

Primero habrá que calcular por hectárea la cantidad de producto comercial:

100 kg de producto--------------40 kg de materia activa

X -----------------------------------3 kg de materia activa

X= (100 x 3)/40= 7,5 kg/ha de producto comercial

Como tenemos 2,5 ha: 7,5 x 2,5= 18,75 kg de producto comercial en toda la parcela.

4) Además nos dicen que hemos de gastar un volumen mínimo de caldo de 500 l/ha y disponemos de una cuba de 1000 litros de capacidad. ¿Cuántos litros de caldo necesitaremos?, ¿En cuántas cubas?, ¿Cuánto producto comercial echaremos en cada cuba?.

18,75 kg de producto comercial en toda la parcela. Serían 2 cubas.

**1ª Cuba llena con 1000 litros para 2 ha. Luego 7,5 kg/ha x 2 ha= 15 kg de producto comercial.

**2ª Cuba con 250 litros (1/4 de la cuba llena) para 0,5 ha. Luego 7,5 ha x 0,5 ha= 3,75 kg de producto comercial.

5) Tenemos que hacer un tratamiento hormonal de 25 ppm con un producto comercial líquido cuya riqueza en materia activa es del 5%. ¿Cuánto producto comercial emplearíamos para un depósito de 400 litros?.

Aplicamos la siguiente fórmula:

Dosis (10 litros de agua)= ppm / Riqueza(%)

25 ppm / 5% = 5cc / 10 litros

5cc------------------10 litros

X--------------------400 litros                             X= 200 cc de producto comercial.

MATEMÁTICAS JARDINERAS, FORMAR ALINEACIONES DE PLANTAS EN FORMA CUADRADA Y RECTÁNGULAR

Hoy os muestro una forma rápida y sencilla de calcular alineaciones de plantas para perimetrar zonas en forma de cuadrado o de rectángulo. 

Para realizar cuadrados:

En este ejemplo tenemos un cuadrado de 4x4, es decir 4 plantas por cada lado con separación equidistante. La fórmula es sencilla:

Si queremos formar cuadrados la fórmula es (Ax4)-4, siendo "A" el número de plantas por lado. Aplicamos: (4x4)-4=12, con 12 plantas formamos este cuadrado.

Imaginad ahora que queremos hacer un cuadrado de 6x6, aplicamos la fórmula: (6x4)-4=20 plantas.

Ahora para hacer formas rectangulares, la fórmula cambia a la siguiente: (Ax2+Bx2)-4, lo aplicamos con el siguiente ejemplo:

"A" y "B", son el número de plantas por lado pequeño y por lado grande respectivamente, si queremos hacer este rectángulo de 4x6, al aplicar la fórmula obtenemos:

(4x2+6x2)-4= 8+12-4= 16 plantas en total.

Espero que os haya gustado este fácil ejercicio de matemáticas jardineras.

MATEMÁTICAS JARDINERAS: ESCUADRAS, CARTABONES Y TRIÁNGULOS EGIPCIOS

INTRODUCCIÓN

Los triángulos rectángulos nos pueden ayudar para plasmar el jardín que proyectamos sobre papel, pero también podemos hacer uso de ellas directamente en la ejecución del proyecto, es decir, sobre la parcela.

DESCRIPCIÓN DE LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN

Una escuadra tiene dos lados iguales, es un triángulo rectángulo isósceles. Posee un ángulo de 90º y dos de 45º. Los catetos de la escuadra son los lados del cuadrado, y la hipotenusa es la diagonal, las proporciones entre los catetos y la hipotenusa vienen determinados por esta relación. Si tenemos que:

y por el Teorema de Pitágoras tenemos que:

Con lo que tenemos:

Un cartabón es una plantilla con forma de triángulo rectángulo escaleno que se utiliza en dibujo técnico. Pueden ser de diferentes tamaños y tener una escala gráfica, para usarse como instrumento de medición. Su forma es la de un triángulo cuyos ángulos son 90º, 60º y 30º. La hipotenusa mide el doble que el cateto pequeño.

Sabiendo que:

y por el Teorema de Pitágoras tenemos que:

Con lo que tenemos:

Si tomamos por unidad el cateto pequeño haciendo a = 1, tenemos que la hipotenusa mide 2 y el cateto mayor raíz de tres.

USO DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS PARA REPLANTEAR EN CAMPO

Si queremos representar un triángulo rectángulo, el más fácil es el Triángulo Egipcio o Triángulo de los 12 nudos, es el nombre moderno dado a un triángulo rectángulo cuyo lados tienen las longitudes 3, 4 y 5, o sus medidas guardan estas proporciones. Es el triángulo rectángulo más fácil de construir y, posiblemente, se utilizó para obtener ángulos rectos en las construcciones arquitectónicas desde la más remota antigüedad.

Ahora, imaginemos el siguiente supuesto: 

Tenemos que marcar en una parcela (donde se quiere ejecutar un jardín) una línea de unos 10 metros perpendicular a un muro existente. 

¿Qué necesitamos?,

-3 estacas y un martillo para clavarlas.

-1 cuerda no flexible de 12 metros de longitud.
-Lienza con azulete.


¿Cómo marcamos esa línea perpendicular al muro?,Vamos paso por paso:
-Primer paso: Cogemos una estaca y apoyada contra el muro la clavamos en el punto de inicio de la línea que queremos marcar.

-Segundo paso: La segunda estaca también apoyada contra el muro la clavaremos a 4 metros de la primera. Así tendremos dibujado el primer lado del triángulo egipcio.

-Tercer paso: Solamente falta clavar la tercera estaca, su ubicación la marcará la cuerda de 12 metros que estará unida en sus extremos. Al pasar la cuerda dejándola estirada por las dos estacas ya clavadas la tercera se clavará a 3 metros de la primera estaca y a 5 metros de la segunda estaca. El lado de 3 metros es la línea perpendicular al muro.

-Cuarto paso: Solamente queda marcar con la lienza la línea obtenida.

Para esta solución se ha cogido un triángulo de lados enteros (3, 4 y 5), pero se pueden hacer triángulos más pequeños y más grandes, multiplicando o dividiendo los números anteriores (3, 4 y 5)  por algún número, por ejemplo: Multiplicando por 6 daría 18, 24 y 30 (Cuerda de 72 m), dividiendo entre 3 daría 1, 1´33, 1´66 (cuerda de 4 m).

*Nota del autor: Gracias a la colaboración de mi hermano Pablo, profesor de matemáticas.

**Fuentes consultadas: http://es.wikipedia.org/, http://www.slideshare.net/

MATEMÁTICAS JARDINERAS (ESCALAS Y PLANOS)

CONCEPTO

La representación de objetos a su tamaño natural no es posible cuando éstos son muy grandes o cuando son muy pequeños. En el primer caso, porque requerirían formatos de dimensiones poco manejables y en el segundo, porque faltaría claridad en la definición de los mismos.  Esta problemática la resuelve la ESCALA, aplicando la ampliación o reducción necesarias en cada caso para que los objetos queden claramente representados en el plano del dibujo. Se define la ESCALA como la relación entre la dimensión dibujada respecto de su dimensión real, esto es:

E = dibujo / realidad

Si el numerador de esta fracción es mayor que el denominador, se trata de una escala de ampliación, y será de reducción en caso contrario. La escala 1:1 corresponde a un objeto dibujado a su tamaño real (escala natural).

ESCALA GRÁFICA

Basado en el Teorema de Thales se utiliza un sencillo método gráfico para aplicar una escala.

1º) Con origen en un punto O arbitrario se trazan dos rectas r y s formando un ángulo cualquiera.

2º) Sobre la recta r se sitúa el denominador de la escala (5 en este caso) y sobre la recta s el numerador (3 en este caso). Los extremos de dichos segmentos son A y B.

3º) Cualquier dimensión real situada sobre r será convertida en la del dibujo mediante una simple paralela a AB.

ESCALAS NORMALIZADAS

Aunque, en teoría, sea posible aplicar cualquier valor de escala, en la práctica se recomienda el uso de ciertos valores normalizados con objeto de facilitar la lectura de dimensiones mediante el uso de reglas o escalímetros.

Estos valores son:

Ampliación: 2:1, 5:1, 10:1, 20:1, 50:1 ...

Reducción: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50 ...

No obstante, en casos especiales (particularmente en construcción) se emplean ciertas escalas intermedias tales como:

1:25, 1:30, 1:40, etc...

EJEMPLOS PRÁCTICOS

EJEMPLO 1

Se desea representar en un formato A3 la planta de un jardín de 60 x 30 metros.

La escala más conveniente para este caso sería 1:200 que proporcionaría unas dimensiones de 30 x 15 cm, muy adecuadas al tamaño del formato.

EJEMPLO 2:

Se desea representar en un formato A4 una pieza de reloj de dimensiones 2 x 1 mm.

La escala adecuada sería 10:1

EJEMPLO 3:

Sobre una carta marina a E 1:50000 se mide una distancia de 7,5 cm entre dos islotes, ¿qué distancia real hay entre ambos?

Se resuelve con una sencilla regla de tres:

si 1 cm del dibujo son 50000 cm reales

7,5 cm del dibujo serán X cm reales

X = 7,5 x 50000 / 1 ... y esto da como resultado 375.000 cm, que equivalen a 3,75 km.

USO DEL ESCALÍMETRO

La forma más habitual del escalímetro es la de una regla de 30 cm de longitud, con sección estrellada de 6 facetas o caras. Cada una de estas facetas va graduada con escalas diferentes, que habitualmente son:

1:100, 1:200, 1:250, 1:300, 1:400, 1:500

Estas escalas son válidas igualmente para valores que resulten de multiplicarlas o dividirlas por 10, así por ejemplo, la escala 1:300 es utilizable en planos a escala 1:30 ó 1:3000, etc.

Ejemplos de utilización:

1º) Para un plano a E 1:250, se aplicará directamente la escala 1:250 del escalímetro y las indicaciones numéricas que en él se leen son los metros reales que representa el dibujo.

2º) En el caso de un plano a E 1:5000; se aplicará la escala 1:500 y habrá que multiplicar por 10 la lectura del escalímetro. Por ejemplo, si una dimensión del plano posee 27 unidades en el escalímetro, en realidad estamos midiendo 270 m.

Por supuesto, la escala 1:100 es también la escala 1:1, que se emplea normalmente como regla graduada en cm.